考研之考研函數問題

考研之考研函數問題

　　經常有同學捧著某些考研輔導書來問間斷函數是否有原函數這樣類似的問題。

　　我的回答是"可積函數的原函數為什么一定是個連續(xù)函數？"是個偽命題，我的回答，首先是這個問題的前提錯了："可積函數并不一定有原函數"。所以根本不可能有"可積函數的原函數一定是個連續(xù)函數"這樣的結論，這是某些考研輔導專家是在嚴重誤導。

　　函數"可積"并不是有"原函數"的充分條件，只有函數"連續(xù)"才是有"原函數"的充分條件（并不是必要條件）。所以說函數"連續(xù)"并不是有"原函數"的必要條件，因為確實可以舉出"不連續(xù)的函數也是可能會有原函數"的經典反例的（見附注），但這已經有點偏離考綱了。

　　原函數的概念與導函數的概念是"互逆"的"伴隨概念"，根據達布定理"可導函數的導函數只可能有振蕩間斷點"的結論，可支持我的觀點"可積函數并不一定有原函數"。

　　歸根結底，是因為可積函數可能有第一類間斷點（可去間斷點或跳躍間斷點），這是就必定沒有原函數。

　　"可積"的概念是對有限區(qū)間上的"定積分"而言的，沒有"可積函數的''不‘定積分"問題，一般考研輔導書上的關于"對于分段函數，每一段（不定）積分后，都有個常數，那最后積分結果的常數怎么確定？"也是一個偽問題。

　　因為這要看這個函數（總體）是不是連續(xù)？

　　即使分段連續(xù)，如果總體不連續(xù)（實際上就是分段點處不連續(xù)），那么就談不上原函數和不定積分，也更談不上常數應該如何確定了。

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