小學數學培訓總結
總結是指對某一階段的工作、學習或思想中的經驗或情況加以總結和概括的書面材料，通過它可以全面地、系統地了解以往的學習和工作情況，是時候寫一份總結了。那么總結要注意有什么內容呢？下面是小編幫大家整理的小學數學培訓總結，僅供參考，歡迎大家閱讀。
小學數學培訓總結1
通過參加教師的繼續教育培訓，使我的教育教學觀念進一步得到更新，真是受益匪淺。我仔細聆聽了專家的講座，進入論壇發貼、跟貼，寫學習日志，精心編寫教學設計與反思，用心地完成作業，使我學到了當前先進的教育教學理論，為以后的工作積蓄了力量、理清了思路，更加明確了目標。
一. 思想靈魂得到了洗禮
多年的教學歷程，使我已經慢慢感到倦怠，我已不知從什么時候開始，就老是愛抱怨現在的學生難教難管，卻把教師的職業當成了一種謀生的職業。所以對待教育教學工作常帶有厭倦感，心態老是失衡。可通過這次培訓，聽了專家們的觀點，使我的心靈受到了震憾，靈魂得到了凈化，思想認識得到了提高。讓我能以更寬闊的視野去看待我們的教育教學工作。讓我學到了更多提高自身素質跟教育教學水平的方法跟捷徑。“愛”是教育的支點，我們知道了怎樣更好地去愛自己的學生，怎樣讓我們的學生在更好的環境下健康茁壯地成長。
二、加強學習，促進專業化成長
教師要想給學生一滴水，自己就必須具備一桶水。但要想學生永遠取之不盡，用之不盡，教師就得時時給予補足，專家的話就充分印證了這句話。他們用淵博的科學文化知識旁征博引給我們闡述深奧的理論知識，講得通俗易懂，讓我們深受啟發。面對著一群群渴求知識的學生，使我深感到自己責任的重大以及教師職業的神圣。讓我對如何進行有效備課跟上課指明了方向。特別是教師們對教學中的困惑跟爭論，更讓我體會到了進行終身學習，促進教師專業化成長的必要性。冰凍三尺非一日之寒，我們教師只有不斷地學習，不斷地完善，不斷地提升，才能滿足社會的需求，才能適應世紀的.挑戰，才能勝任教師這一行業。
三. 有效課堂的建構
通過認真地學習，使我對如何有效備課跟上課有了全新的認識。面對著新課程、新理念，我們教師就得更新教育教學觀念，采取新對策實施有效教學，跟上時代發展的步伐。
有效課堂教師要堅持做到先學后導，把先學后導貫穿于課前、課中、課后，并要以建構主義教學為基礎，遵循學生認知規律，從學生已有的知識基礎經驗出發，幫助學生找準新舊知識間的切入點，讓學生的思維產生碰撞跟沖突。抓住新舊知識之間的轉化關系，這需要教師創設真實的情景來互動。教師設問題，學生生成問題，教師引發討論，使整個課堂的學習活動充滿生機活力。
有效教學要把評價滲入課堂。教師要使知識問題化、問題能力化，要實現這一目標教師就必須與學生共同建立起知識的橋梁，形成合作、探究解決，并以問題為核心，以學生為本，該如何創設跟諧的課堂或情境?指導學生的學習是要科學化，訓練的問題是要目標化，內容的評價要全面真實化。一系列的問題教師都必須進行全面的思考與評價。
四.積極參加調教活動跟聽優秀老師的觀摩課
培訓時，專家們的講述，環節嚴謹，重點突出，過渡自然，使我深受啟發，爭取在教學時精心設計習題，用行動激發學生的學習熱情，讓學生懂得數學生活中的廣泛應用，體現了新課改的理念“人人學有用的數學”。貼近學生的學習生活，學生更樂意接受。
培訓已拉下帷幕，而我覺得只是一個開端，不過這次培訓也使我補足了元氣，添了靈氣，煥發出無限生機。真正感到教育是充滿智慧的事業，深刻意識到教師職業的責任與神圣。寫在紙上的是思想的足跡，化作動力的是思想的延伸，愿“一片金色的回憶，一份永久的紀念”化為我重新跋涉的新起點。
小學數學培訓總結2
義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性，普及性和發展性，使數學教育面向全體學生。既要加強學生的基礎性學習，又要提高學生的發展性學習和創造性學習。讓學生享受“快樂數學”。因此，本人通過對新課程的學習，對如何讓學生學好數學有了進一步的認識。下面談一下自己的感受：
首先育人要有新理念， 新課程標準把全面發展放在首位，強調小學生學習要從以獲取知識為首要目標轉到首先關注人的情感、態度、價值觀和一般能力的培養，創造一個有利于學生生動活潑，持續發展的教育環境。在教學中既要關注學生數學學習的水平，更要關注他們在數學實踐活動中所表現出來的情感和態度。
其次，教學要有新方法
1、給學生提供動手實踐的機會，變“聽數學”為“做數學”。學生對數學的體驗主要是通過動手操作，動手操作能促進學生在“做數學”的過程中對所學知識產生深刻的體驗，從中感悟并理解新知識的形成和發展，體會數學學習的過程與方法，獲得數學活動的經驗。它是學生參與數學活動的重要方式。
新教材非常注重學生操作活動的設計并提供了大量的素材，教師要從“生動的直觀到抽象的思維”的認識規律來設計、組織操作活動，并擔當好組織者和引導者的角色。不能把操作流于形式，要讓每個學生都必須經歷每一個操作活動。還要引導學生把直觀形象與抽象概括相結合，采取邊說邊操作，邊討論邊操作等方式，讓手、腦、口并用，在操作和直觀教學的基礎上及時對概念、規律等的本質屬性進行抽象概括。
2、自主探索與合作交流從形式走向實質。教師要有目的地選擇這些重演或再現的教學內容，給學生提供自主探索的空間和時間，讓學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證等數學活動。自主探索是在教師引導下的探索，教師不僅要精心設計自主探索的情境，而且要關注學生探索的'過程和方法。學之道在于“悟”，教之道在于“度”，教師要處理好自主與引導、放與收、過程與結果之間的辨證關系。對于那些估計學生通過努力能探索求得解決的問題，應大膽地放，放得真心、實在，收要收得及時、自然。如果只放不收，只是表面上的熱鬧，收效甚微。如果失去教師有價值的引導，學生的主體性也不會得到充分的發揮。
3、注意運用現代信息技術輔助教學。因為運用信息技術，有利于提高課堂教學效果。 第三、學習模式的多元化。
教育家陶行知說過：“真教育是心心相印的活動”。在新課程中，傳統意義上被認為是知識傳授者的教師的教與學生的學，將不斷讓位于師生互教互學，彼此將形成一個真正的“學習共同體”，建立起教師和學生之間的平等的朋友式的關系，營造和諧的教與學的氛圍，創設師生“對話”的情境，使學生體驗平等、自由、民主、尊重、信任、同情、理解和寬容，形成自主自覺的意識、探索求知的欲望、開拓創新的激情和積極進取的人生態度。這就需要教師與學生、學生與學生之間形成平等而又密切合作的關系，以達到共同合作完成知識建構的目的。創設情境，發揮最佳效果。
在教學實踐中，可以從日常生活入手，創設生動有趣的問題情境，吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，這樣使學生從生活經驗和客觀事實出發，在研究現實問題的過程中學習數學、理解數學，同時把學習到的數學知識應用到生活實際，使學生親近數學，感到學習數學的快樂，初步體現與現時生活的聯系。
第四、在教學中，充分關注學生情感態度變化，采取積極的評價，較多地運用激勵性的語言。
如：說得真好!你懂得真不少!你想象力非常豐富!真會動腦筋等等!調動了學生積極探求知識的欲望，激發了學生學習的情感，讓每個學生體驗成功，增強自信心。轉變學習方式，培養實踐操作能力。我們體會到要實現學生學習方式轉變要注意做到：既重視科學精神，又充滿人文精神教育。也就是基本功要扎實，基礎知識和基本技能熟練，還要關注每一個孩子，尊重學生人格，滿足不同學生的學習需要，讓每個學生都能得到充分的發展。教師要有創新的教學模式，創新的教學方法，靈活的教學內容的選擇，以創新思維培養為核心的評價標準，要善于打破常規，突破傳統觀念，具有敏銳的洞察力和豐富的想象力。學生正處于人格塑造和定化時期新課程對教師提出了教育專業工作者的要求，我們只有作好充分的準備，進行精心的教學設計，才會在教學中使學生真正地動起來，經歷"與人合作，并與同伴交流思維的過程和結果"，使學生善于傾聽他人發言，樂于陳述自己的想法，敢于修正他人的觀點，勇于接受他人的意見;這些都有利學生主動地參與學習，有利于提高個體的學習動力和能力，才會使他們感到無限快樂，感到自己精神的、智慧的力量在增長，使學生的個性得以充分的發展。
小學數學培訓總結3
通過近期網絡上的遠程教育學習，使我明白了《新課程指導綱要》提出教學改革要著重從教師教的角度研究變革教的方式轉為從學生學的角度研究變革學的方式。也就是說基礎教育課程改革既要加強學生的基礎性學習又要提高學生的發展性學習和創造性學習從而培養學生終身學習的愿望和能力讓學生享受“快樂數學”。因此本人通過對新就改變學生的學習方式作了如下幾方面的探索。
一、提高學習興趣
在平時的教學中我注意根據不同的教學內容、不同的教學目標結合學生的特點選用不同的教學方法努力創設一種和諧、愉悅的教學氛圍和各種教學情境精心設計教學過程和練習。在課堂上給予學生自主探索、合作交流、動手操作的權利讓學生充分發表自己的意見。久而久之學生體會到成功的喜悅激發了對數學的好奇心、求知欲以及學習數學的興趣覺得數學不再是那些枯燥、乏味的公式、計算、數字從思想上變“要我學”為“我要學”了。例如教學“因數與倍數”時我給每一位同學都編了一個號然后根據因數與倍數的特點組織游戲大家很快就掌握了。同學們學習興趣非常濃上課發言也非常積極。
二、自創新型教學
當今人類進入了信息時代以計算機和網絡為核心的現代教育技術的不斷發展使我們的教育由一支粉筆、一本教材、一塊黑板的課堂教學走向“屏幕教學”由講授型教學向創新型教學發展。如在教學“分數大小的比較”一課時采用故事導入生動形象的畫面伴以美妙的音樂很快讓學生進入教學過程。“唐僧師徒四人去西天取經。一天天氣特別炎熱師徒四人口渴難忍讓八戒去找西瓜解渴。不大一會八戒抱著一個大西瓜回來了。孫悟空說?把西瓜平均分成四份每人一份。?八戒聽了不高興了叫喊說?西瓜是我找來的不給我六分之一也得給我五分之一。?悟空樂了趕緊切了五分之一給八戒。八戒吃完西瓜拍著肚皮說?我真傻為什么比先前分得的還少呢?大家聽了都笑了而八戒卻還是莫名其妙。”同學們都笑了這時教師停止故事的播放問“同學們你們想知道是什么原因嗎？想學了今天這節課的知識你就知道了。”
在小學數學教學中適時恰當地選用現代教育技術來輔助教學以逼真、生動的畫面動聽悅耳的音響來創造教學的文體化情景使抽象的教學內容具體化、清晰化使學生的思維活躍興趣盎然地參與教學活動使其重視實踐操作科學地記憶知識并且有助于學生發揮學習的主動性積極思考使教師以教為主變成學生以學為主從而提高教學質量優化教學過程增強教學效果。
三、主合作探究
新課程倡導建立自主合作探究的學習方式對我們教師的職能和作用提出了強烈的變革要求即要求傳統的居高臨下的教師地位在課堂教學中將逐漸消失取而代之的是教師站在學生中間與學生平等對話與交流過去由教師控制的教學活動的那種沉悶和嚴肅要被打破取而代之的是師生交往互動、共同發展的真誠和激情。因而教師的職能不再僅僅是傳遞、訓導、教育而要更多地去激勵、幫助、參謀師生之間的關系不再是以知識傳遞為紐帶而是以情感交流為紐帶教師的作用不再是去填滿倉庫而是要點燃火炬。學生學習的靈感不是在靜如止水的深思中產生而多是在積極發言中相互辯論中突然閃現。學生的主體作用被壓抑本有的學習靈感有時就會消遁。
在教學中我大膽放手給學生充足的時間讓學生成為學習的主角成為知識的主動探索者。我經常告訴學生“課堂是你們的數學課本是你們的三角板、量角器、圓規等這些學具也是你們的這節課的學習任務也是你們的`。老師和同學都是你們的助手想學到更好的知識就要靠你們自己。”例如在教學“長方形和正方形的特征”時我在學生舉出長方形正方形的實物后根據學生回答“長方形和正方形都是有四條線段圍成的圖形”。話音剛落馬上有學生站起來說“老師你說錯了應該是有四條邊圍成的圖形他們都有四條邊。”等他剛一說完另外一個學生提出反對意見“應該是四條線段圍成的圖形每條線段都叫做邊。”“他們還都有四個角而且都是直角。”我一直在一旁微笑的聽著最后說“嗯這幾位同學說得很好老師希望每個同學都能積極思考踴躍發言。把自己知道的和與我們學習有關的說出來大家互相促進。”那一段時間這幾位學生學習興趣非常濃而其他的學生受其影響上課發言也非常積極。當然不是說亂成一團才為妙，但一個開放的、體現學生主體作用的課應該有他們自由表達意見的空間。適度的“亂”在教師控制之中的“亂”在一定程度上可以激發學生學習的主動性讓他們真正參加到教學中讓他們去創造性的學。
總之通過這段時間遠程學習，使我學習了很多新的教育教學理論知識，面對新課程改革的挑戰我們必須轉變教育觀念多動腦筋多想辦法密切數學與實際生活的聯系使學生從生活經驗和客觀事實出發在研究現實問題的過程中做數學、理解數學和發展數學讓學生享受“快樂數學”。
小學數學培訓總結4
根據市教育局骨干教師成長計劃的相關要求，為了打造一支業務精湛、素質優良的小學數學骨干教師隊伍，本著以培促教、以培促發展的原則，我們針對參加培訓骨干教師的特點和實際狀況，以新課程、新理念、師德修養為主要內容，結合小學數學課程的特點，精心策劃、有效地組織，使本次培訓取得了較好的效果，達到了預期的目的。現將培訓工作總結如下：
一、培訓活動及主要特點
1、培訓內容具有針對性
本著培養骨干、講究實效的原則，針對我市教育教學和培訓對象實際，此次培訓形式多樣、內容豐富，既有專家的講座，又有一線教師面對面的指導，學員間的教學觀摩以及寫論文等。共聽取了專題講座六個：蘆喜強對《數與代數》、《空間與圖形》的培訓；田東平對《解決問題》等的輔導；以及《教材分析與教學實踐》和《教材分析與教學評價》。這些講座內容豐富，題材廣泛，給學員們帶來極大收獲。
圍繞“在新課程下如何提高課堂效率”這個主題，骨干教師分學段撰寫教學設計，各區內由教研員組織骨干教師研討交流，并進行上課、研課，為老師們提供了一個良好的學習、探討的機會。
2、培訓形式靈活多樣
培訓中主要以提高認識、關注課堂、尋找問題為研修的主旨、以專題講座、小組互動作業、課堂觀摩、交流研討為研修的主要形式。同時還根據學員的.實際和學科的特點，圍繞老師們在課堂教學中的問題進行深入研討。
為了調動參培教師已有的經驗，我們高度重視他們在培訓活動中的參與，針對每一個專題均有供學員思考、討論的時間和空間。重視教師提出問題、解決問題、生成研究問題。培訓中既有實踐操作又有理論提升，既有專家講座，又有互動交流，既有課堂觀摩，又有學員互動評課，專家引領。靈活多樣的培訓形式，很受學員歡迎。
3、培訓任務完成質量高
由于我們根據課標的要求和數學學科的特點，按不同的板塊類型，提供了有研究價值的研究課，圍繞各類課的教學特點、教學策略、教學方法進行分析。因此學員積極認真參與各項教學活動并能進行熱烈的討論，從具體教學切入，聯系實際，充分激活教師教學實際經驗的總結，反思教學行為，實效性較強。高效地完成本學年的培訓任務。
這種培訓不僅掌握了具體的教學方法，而且掌握新課程教學的一些基本要領。學員們非常喜歡這樣的活動，在他們的總結中寫到：“這樣有理論有實踐的培訓，很實在。作為一個長期從事六年級數學教學工作的我來說，親身感受到了新教材并非那么難上，教法與學法上得到很大提高。”……。
二、培訓取得的成績和經驗
為了確保培訓的高水平、高質量，從培訓的理念、教學方式以及授課專家的選擇，經過精心安排，精心準備。在培訓過程中，教師們專心致志地聽課，記錄，積極思考并參與討論交流。他們刻苦學習和勤于探索的精神給我們下了深刻的印象。
1、實現了方法到理論的提升
教育教學理論的提升是本次培訓的重心之一，我們聘請了全省既有豐厚的教育教學理論又有豐富教學經驗的教育專家學者，他們從不同層面不同角度對教育發展的歷史、現狀和發展趨勢以及新課程改革中的焦點問題進行方方面面精辟獨到的剖析。李曉梅主任對數學嚴謹地表述，潛心地思考，精辟的歸納，不得不讓人佩服數學和數學研究者的魅力。從而加快教師自身專業化發展，讓大家感到受益匪淺。
2、教學實戰能力得到提升
本次培訓充分關注一線教師的實際需要，不僅在大的緯度上幫助教師構建理論體系，同時更關注新課程背景下課堂教學深層問題。如《教材分析與教學實踐》和《教材分析與教學評價》的講座研討活動中，巧妙地運用一個教學案例，讓大家深刻地理解了“什么是教學設計”，懂得了“教學設計的基本程序”，掌握了“教學設計的核心是什么”。明白了“抓住教學目標、抓住學生思考、抓住教學反思、落實教學環節、落實教學活動，”在充分的教學準備的前提下，設計和上出高質量的新課程數學教學課。
幾位特級教師老師的精彩課堂實例展示以及豐富多彩的教學片段設計、小組交流等都使每一位參培教師在觀摩、思考、碰撞中得到提高。為學員提供了學習和研究的現場。
整個培訓活動從實踐到理論，循序漸進，打破了過去從理論到實踐的傳統。從培訓的思維方法看，從過去的理論演繹轉化為從實際到理論的歸納。不僅降低了學習的難度，而且提高了學習的實效。
3、培訓者的收獲
教學是一個相互促進，共同提高的過程。充分利用學員優質資源也是我們這次培訓的一大特色。在與參研教師平等對話、交流中思想得到碰撞，通過碰撞，得到共識。同時學員之間交流生成的問題和解決問題的方法也是非常寶貴的資源。
三、培訓后的思考
今年的培訓工作從總體上講取得了極大的成功，受到廣大參訓教師的歡迎。但在局部還存在一些值得總結和反思的問題：
1、在培訓中我們注重調動學員學習的積極性，但供大家參與交流的時間還不夠充分。
2、由于班額大，人數多，因此跟蹤指導的不夠及時、全面。
在下學年的教師培訓中，我們一定不斷改進工作，把培訓搞得更加有聲有色，更加卓有成效，不辜負市教育局領導和參訓學員的期望，也希望教育局、各有關學校和廣大教師給我們更大的支持和幫助，共同做好我市的教師培訓工作。
小學數學培訓總結5
我參加了中小學教師遠程網絡培訓，這次培訓活動的內容豐富、形式多樣。專家們的講座切合我們教學的實際，有宏觀的闡述也有微觀的剖析，有理論的提升，更有課例的充實。這種培訓樸實、生動、學有所用。學習期間，認真聆聽各位專家的講座和報告，做好學習筆記；積極參加討論，結合自己教學實際進行總結和反思。通過遠程學習，收獲頗豐，對小學數學本質和自身數學素養等方面的認識都得到很大提升。
本次培訓充分關注一線教師的實際需要，不僅在大的緯度上幫助教師構建理論體系，同時更關注新課程背景下課堂教學深層問題。為大家提供了看得見摸得著的現實經驗。幾位教師的精彩課堂實例展示以及豐富多彩的教學片段設計、小組交流等都使每一位參培教師在觀摩、思考、碰撞中得到提高。他們的成長經歷，感動著學員們一顆顆驛動的心，閃爍著濃濃的新理念和新嘗試的課堂教學，青春蕩漾，新氣十足，為學員提供了學習和研究的現場。
整個培訓活動從實踐到理論，循序漸進，打破了過去從理論到實踐的傳統。從培訓的思維方法看，從過去的理論演繹轉化為從實際到理論的歸納。不僅降低了學習的難度，而且提高了學習的實效。緊張有序的培訓又為我們打開了一扇窗，讓我們透過這扇窗去眺望教育的又一片新視野。有了這次數學遠程培訓讓我深有感觸：第一、數學教學不能只憑經驗。從經驗中學習是每一個人天天都在做而且應當做的事情，然而經驗本身的局限性也是很明顯的，就數學教學活動而言，單純依賴經驗教學實際上只是將教學實際當作一個操作性活動，即依賴已有經驗或套用學習理論而缺乏教學分析的簡單重復活動；將教學作為一種技術，按照既定的程序和一定的練習使之自動化。它使教師的教學決策是反應的而非反思的、直覺的而非理性的，例行的而非自覺的。這樣從事教學活動，我們可稱之為經驗型的，認為自己的教學行為傳遞的信息與學生領會的含義相同，而事實上這樣往往是不準確的，因為師生之間在數學知識、數學活動經驗、社會生活閱歷等方面的差異使得這樣的感覺通常是不可靠的，甚至是錯誤的。例如：多年來我們在上復習課的時候總有一個將知識做為小結的環節，而且都是由教師給出答案，例如用語言或圖表羅列出所學知識。第二、理智型的教學需要反思。它是一種理性的以職業道德、職業知識作為教學活動的基本出發點，努力追求教學實踐的合理性。從經驗型教學走向理智型教學的關鍵步驟就是教學反思。對一名數學教師而言教學反思可以從以下幾個方面展開：對數學概念的反思、對學數學的反思、對教數學的反思對于學生來說，學習數學的一個重要目的是要學會數學的思考，用數學的眼光去看世界。而對于教師來說，他還要從教的角度去看數學，他不僅要能做，還應當能夠教會別人去做，因此教師對教學概念的`反思應當從邏輯的、歷史的、關系的等方面去展開。
當學生走進數學課堂時，他們的頭腦并不是一張白紙——對數學有著自己的認識和感受。教師不能把他們看著空的容器，按照自己的意思往這些空的容器里灌輸數學，這樣常常會進入誤區，因為師生之間在數學知識、數學活動經驗、興趣愛好、社會生活閱歷等方面存在
很大的差異，這些差異使得他們對同一個教學活動的感覺通常是不一樣的。教得好本質上是為了促進學得好。但在實際教學過程中是否能夠合乎我們的意愿呢？我們在上課、評卷、答疑解難時，我們自以為講清楚明白了，學生受到了一定的啟發，但反思后發現，自己的講解并沒有很好的針對學生原有的知識水平，從根本上解決學生存在的問題，只是一味的想要他們按照某個固定的程序去解決某一類問題，學生當時也許明白了，但并沒有理解問題的本質性的東西。
通過這次研修學習，我找到了以前教學中遇到的困惑和難點的解決方法；通過這次研修學習，對我的各方面都有很大的提升。
小學數學培訓總結6
通過兩天緊張的學習，雖然時間短暫，沒有全面領會新課標的精髓，但點滴聆聽，學習中，感悟頗深。新課程標準把全面發展放在首位，強調小學生學習要從以獲得知識為首要目標轉到首先關注人的情感、態度、價值觀和一般能力的培養，創造一個有利于學生生動活潑、持續發展的教育環境。對于小學數學教學來說，既要轉變教的方式又要轉變學的方式，培養和形成“自主、合作、探索”的學習方式，在這兩個轉變中，教的方式轉變是主要矛盾，教的方式一轉變，學的方式也隨之轉變。學的方式轉變可以理性地在課堂中呈現，證明教的方式轉變，證明教師新理念的真正確立。課改實踐告訴我們，沒有堅定的新課程理念，真正意義上的教與學的轉變是不可能的。下面談談本次培訓學習的.一些體會：
一、要重視數學思想史的介紹。
教學中要盡可能多地向學生展示數學知識的形成和演變過程中的功能，使學生學習到數學家們探索和研究數學的思想方法，讓學生感受到的巨大價值。如小學階段平行四邊形面積的求法、圓周率的推導、素數理論的建立等等、等等
二、要倡導“問題解決”的教學模式。
未來的數課程將力求形成“問題情景——建立模型——解釋、應用與拓展”的基本模式，以大眾化、生活化的方式反映重要的現代數學觀念和。“問題解決”的教學模式要求教師為引導學生學習某個問題，必須精心設計出關于教學內容的問題系列，讓學生圍繞這些問題進行積極的探索性的思維活動，設置的問題，要啟發引導學生去發現、分析并解決。這樣不僅能使學生成功地學到知識，而且學到統攝知識的，從中讓他們發現數學真理的奧妙和體驗成功的愉悅。
三、重點突出基本的的介紹和滲透。
我已有近三十年的教學經驗，較詳細地了解義教育階段的數學教材，深感在數學教學中應該滲透以下幾種類型的：
1、宏觀型的如抽象概括、化歸、數學模型、數形結合、方程與函數、歸納猜想等；
2、邏輯型的如分類、類比、完全歸納、反證法、演繹法、特殊化等；
3、技巧型的如換元法、配方法、待定系數法等。
在過去十年的課改實踐中，我們不斷在摸索，不斷在反思，在新課標的學習與實踐之中，新理念、新思路、新方法不斷沖擊著站在課改浪尖上的教師們。我們曾經困惑，不知所措，但通過學習，我們又會新的姿態站在教育前沿。無論遇到多大的艱難險阻，我們緊跟著新課標、新理念，才不會迷失自己的方向，切實為學生的全面發展服務。
總之，面對新課標改革的挑戰，我們必須轉變教育觀念，多動腦筋，想辦法，使學生從生活經驗和客觀事實出發，讓學生享受“數學學科的快樂“且快樂地學數學。
小學數學培訓總結7
為了更好地使用小學數學教材，我們學校數學組開展了一系列的教材培訓活動，通過不同的方式讓教師熟悉教材的編排，根據課標要求，更好地把握教學目標，編制課程綱要和教學案。這次培訓總結如下：
1、細化解讀后的教學目標得到進一步明確。教材不是老師上課的講稿，也不是學生學習的學案，而是我們教學資源中最大的一種。我們不應該根據課本教課本，而是結合課標，利用課本。所以，本次培訓活動中，大家集思廣益，一直僅僅圍繞課標來認識教材，熟悉教材的.編排。；利用教育平臺培訓專家細致的講解讓我們更好地運用教材，落實課標。數學組成員分工合作，進行了不同年級段知識點的匯總，結合課標，明確每年級應教什么，如何教，教到什么程度的問題。
2、從實際活動中激活教材。結合專家講解和教師們自主學習，我校數學組開展了一系列的觀課活動。從本次觀課活動中，一方面，我們看到了教師們整合教材，掌控課堂的技能；另一方面，我們更多地關注教材使用下高效課堂的生成。活用教材，我們更需要在課堂效率上有所突破，評課、議課讓新教材的運用更加立體化。
3、從反思中查看自己的不足，在探討中解惑。從培訓中，老師們收獲很多，但是我們更關注每一位教師提出的需要解決的問題。在一次次的集體教研中，針對一個問題，大家一起想辦法，設計方案，逐個突破，為教師上好每節課“排憂解難”。
4、進一步推進了我校特色“易課堂”的實施。結合學校的核心理念，我們必須要帶著新的教師觀、學生觀、課程觀，精心去上好每節課，力求節節高效，讓高效課堂成為實施教材的一種常態。
5、推動了綠色指標評價體系中我校數學學科的實施。每一位教師的教學觀念、教學行為、教學程序、教學目標、評價方式……都會在這場潮流的沖擊下發生變化。新的課程要求有新的評價標準，結合我校實際情況，我們把鄭州市綠色指標評價體系與我校實際情況相結合，制定出符合我校校情的評價體系。制定的評價體系更關注課堂的生成，關注學生在課堂上的生命狀態，過程性評價和終結性評價的比例得到進一步的優化。
本次培訓活動，所有數學教師積極參與，群策群力認真完成每天的學習任務，集體研討、交流，不斷調試本學期的課程設計，努力把所學所悟運用到課堂上，進一步提升課堂的質量。
小學數學培訓總結8
參加對教材培訓的學習，使我對新課標的要求有了新的認識和體會，感受到教材的編寫無論是從內容的呈現方式，還是頁面的設置上都重視兒童已有的經驗和興趣特點，提供豐富的與兒童生活背景有關的素材，這些正是激發學生的好奇心和求知欲，新教材無論教學內容安排還是呈現形式，處處都是以學生為中心，以重視和培養學生的能力為目的。下面就是自己學習之后的一些膚淺的'認識和體會：
一、理解新課程的基本理念，改變教學方法。
新課程標準的基本理念之一是“實現人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展”。理念之二是“學生的數學學習內容應當貼近學生的生活，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”。基本理念之三是“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者”。教師要深入、全面地學習課程標準，理解課程標準的精神實質，掌握課程標準的思想內涵，通曉課程標準的整體要求，才能目的明確、方向集中地鉆研教材，具體、準確地把握教材的重點、難點，創造性地設計教學過程，從而得心應手地駕弩教材，靈活自如地選擇教法。
二、適當調整知識結構，提供清晰的線索和步驟。
新教材根據教材實驗結果和教師們的普遍意見對教學內容進行了調整。如統計與概率等內容適當降低難度，第一學段統計與概率部分內容大幅減少，部分內容移到第二學段。如一年級上冊“時間”這一單元，將原來的“教學整時和半時”改為只教學“整時”。再如教材系統處理了“解決問題”，為實現“解決問題”的課程目標提供教學思路、發展線索和可操作的案例；針對在實驗教材使用過程中，廣大教師、教研員提出的不適用的教學素材；例題設置中的一些不合適的呈現方式；練習題編制中的有難度或效率低的題目；等等，進行細致地修改。循序漸進的提供解決問題的一般步驟，教給學生解決問題的基本方法。因而此次課改通過教材修訂研究和精心制作工作，形成了一套文字表述準確，易懂、可讀性強，版面設計清爽美觀，圖文并茂配合恰當，裝幀精美，教師能準確把握教材編寫意圖的教材。
總之，面對新課程改革的挑戰，我們必須多動腦筋，多想辦法，密切數學與實際生活的聯系，使學生從生活經驗和客觀事實出發，在研究現實問題的過程中用數學、理解數學和發展數學，讓學生享受“數學學科的快樂”且快樂地學數學。
小學數學培訓總結9
肖川教授說：“培訓是一種福利”。的確，學習是緊張而忙碌的，但又是充實而快樂的，我的確在享受“學習”這種福利。聆聽專家的談話，與特級教師近距離的對話，與學員之間的相互交流、切磋，到學校的參觀學習，使自己對教師這個職業進行了重新的認識，在數學教學的心理學知識、科研的方法、課堂教學的藝術、教研活動的形式方面都獲益匪淺，下面談談自己收獲最大的幾點。
一、明確了自己的目標
李鎮西老師說：“要做一個幸福的教師，而不僅是做一個優秀的教師”。每一個名師都付出了艱辛的努力，在旁人看來，活得很苦很累，而他自己覺得自己很快樂、很幸福。既然我們選擇了教師這個職業，如果覺得自己不幸福或不快樂，要么改變自己的職業，要么改變自己的心態。作為工作了二十年的我，多少有些工作的疲憊、職業的倦怠，聆聽了李老師的講座，覺得自己應該調整自己的工作心態，把做一個幸福、快樂的教師作為自己的奮斗目標，而不要很功利追求優秀教師，這樣自己工作起來也不會快樂，也不會達到一個高的境界。
二、懂得了比較研究的方法
南京師范大學的俞平教授給我們作了教育科研方法的專題講座，對我啟發最大的是比較研究方法。目前，我們正在搞“同課異構”的教學研究，到底從哪些方面進行比較呢？現在我明白了可以從以下幾個方面進行比較：一是教學流程（框架式呈現）；二是教師的教學行為（列表式呈現）；三是教學中不同階段的時間分配（復式條形統計圖呈現）；四是教師提問的方式（復式條形統計圖呈現），如管理式問題、機械性問題、記憶性問題、解釋性問題、推理性問題、批判性問題等各有多少。我們可以利用這種方法來進行比較研究。
三、了解了國內外數學改革的動態
張曉霞書記介紹美國數學改革的動態，了解到國外的優秀學生優于中國的優秀學生，而國際競爭取決于高端人才的競爭。因此目前中國提倡“大眾化教育”，而對“精英教育”進行抑制，這也是不妥的。對“奧數競賽”的褒貶不一，我想：教育有其內在的規律。學生學習數學的水平是有差異的'，我們為什么要搞“齊步走”、“一刀切”呢？有的學生數學思維水平較高，僅僅學習書本知識已經不夠，為什么不讓他們選擇有挑戰性的問題進行探討呢？當然，不是所有的學生都得學習“奧數”，只是少數在數學思維方面有天賦的學生可以學習。
張書記還介紹了新一輪課程改革標準的修訂，我們了解到了一些改革的動態，修正了一些比較偏頗的觀點。
四、欣賞了名師的教學風采
有幸聆聽著名特級教師朱樂平的講座跟課堂教學的風采，我佩服他那種嚴謹的工作作風、求真務實的科學研究態度，以及他敢于兼容各種教學觀點的寬廣胸懷。而他課堂教學中那種閃爍著智慧光芒的個性化教學更顯示出名師的風范。課堂教學永遠是一門遺憾的藝術，雖然他的課也有遺憾處，但絲毫不能掩飾他民主課堂、智慧課堂的光芒。為此，我專門寫下了“聽朱樂平老師執教《同分母分數加減法》的課后賞析”。
五、觀摩了校本研修的內容跟形式
當我們走進機投小學時，聆聽校長的匯報時，對我啟發最大的是教師研修內容的“三個有”。（一）有引領性的研修核心，教學質量核心組研制年級知識“目標、檢測”體系，示范并實踐學生訓練的先進經驗，把專題研究轉化為實踐形態。（二）有實效性的研修方式——“三上”課，獨立一上，為課堂捉蟲，解決從預設到目標達成的具體措施；二上觀念到行為的實踐；三上發現教師亮點。抓住三個環節，確定一個專題，完成一輪三上實踐，進行一次專題檢測；（三）有高水平的研修平臺。讀書平臺，一讀經典，二讀教材，三讀專業書刊；高效的網絡平臺，溝通交流互動渠道；開放的專家平臺，日常的教學工作中打功底，上掛鍛煉頂崗鍛煉實現自我超越，游學帶著問題、思考交流研究。還有學校對教師網絡交流的評價實行“讀書沙龍的積分榜”
當我們走進草堂小學，除了被濃郁的詩意校園所感染外，我還對學校的校本研修模式有所了解。學校給我們呈現了以下的教研模式：教導主任介紹數學教研組的概況；上課教師呈現一堂課《同分母分數加減法》；教研組組長跟老師分別介紹研究過程跟觀察情況，介紹三種版本的比較研究，介紹教研組對周長的理解、分析學生的生活經驗、分析預設學生的課堂反映；介紹教學設計的每一個環節及設計意圖；介紹觀察到的學生在課堂上的表現；介紹聽課后的感受。草堂小學的集體研究模式值得我們借鑒，平時我們的教研活動也是這樣做的，但沒有整理研究的過程。
小學數學培訓總結10
各校三、四年級數學教師均在暑假期間在校、在家利用網絡參與了本次網絡研培活動。以自我研修、教研組研討等形式認真參與了網絡研與討，把自己的心得、體會、感悟、體驗毫無保留的本區老師共享。如茶店子小學三年級數學教研組楊娟 胡笳 邱靜 蒲秋羽等幾位老師在各自在學習了新世紀（版）義務教育課程標準實驗教材《數學》（3年級上冊）教材編寫意圖后，又以教研組集體研討的形式把自己對于教材的認識、體會、理解、解決策略方法等發表出來與全區教師交流：我們數學組結合本校學生的實際學習情況，對教材按單元進行了再度分析。
第一單元：乘除法本單元主要學習口算乘除法，為第四單元、第六單元學習筆算乘除法打基礎。它是在學生掌握了表內乘除法的基礎上展開教學的，它是學習多位數乘除法的基礎。教學時，從以下幾點著手1. 在具體的情境中，引導學生探索口算的方法2.提倡算法多樣化，培養思維的靈活性3. 注重聯系實際，培養解決實際問題的能力。
第二單元：觀察物體本單元的教學內容具有活動性、過程性和體驗性的特點。教學時，準備好正方體學具或由學生自備正方體的積木。利用教材提供的實踐活動，引導所有學生參與到操作活動中來，讓學生在搭立體圖形的過程中觀察、思考、想象、交流，根據自己的實踐體驗，感悟從不同角度觀察立體圖形，所看到的`形狀可能不同，發展學生的空間觀念。
第三單元：千克、克、噸本單元是“數與代數”中“常見的量”的重要內容之一。這是初次學習有關質量知識，它是今后解決有關質量問題的基礎。千克、克、噸這幾個量比較抽象，尤其是克、噸這兩個質量單位。學生雖然在日常生活中都接觸過物體輕重問題，但對質量單位還缺乏認識，而且質量單位不像長度單位那樣直觀、具體，不能只靠觀察得到認識，為了使學生獲得千克、克、噸的具體概念，要充分利用直觀操作，創造條件讓學生進行實際操作活動，使較抽象的質量單位能被學生具體地感知。
第四單元：乘法教學時結合生動、現實的情境，初步感知乘法與生活的緊密聯系，激發學習數學的興趣。探索兩、三位數乘一位數的計算方法，，體驗算法多樣化，并能選擇合適的計算方法。能正確計算兩、三位數乘一位數的乘法。
第五單元：周長這些內容的學習是在學生認識了三角形、平行四邊形、長方形、正方形等平面圖形的基礎上進行的，它是進一步學習平面圖形面積計算的基礎。本單元的內容與學生的生活實際緊密相連，教學時應注重所學知識與日常生活的密切聯系，讓學生親歷“做數學”的過程，關注學生對測量的體驗。
第六單元：除法本單元主要學習兩、三位數除以一位數的除法，是在學生已經掌握百以內一位數乘除兩位數的口算和兩、三位數乘一位數的乘法的基礎上進行教學的。
這部分教材注重了以下幾個方面。 1.引導學生在解決問題中體會計算方法 2.內容的呈現注重了層次性和思考性 縱觀本單元各小節，它們之間有較強的邏輯性。 （１）“分桃子”——兩（三）位數除以一位數。（商是兩（三）位數。） （２）“淘氣的猴子”——三位數除以一位數。（商是三位數，中間或末尾有０。） （３）“送溫暖”——三位數除以一位數。（商是兩位數。） （４）“買新書”——連除和乘除混合運算。 這樣的安排，有較清晰的層次，由淺入深，循序漸進，體現了數學知識的相互聯系。第七單元：年月 日本單元是在一、二年級學生已經學習了認識鐘表，了解時、分、秒之間的關系的基礎上學習的。本單元要學習年、月、日；認識星期；認識２４時記時法。有關年、月、日的知識具有常識性，在課堂上雖然沒有系統學過，但在實際生活中學生已有很多經驗，所以教材一開始就安排了“說一說”，意圖是要充分利用學生的生活經驗，使其在此基礎上學習新的知識。第八單元：可能性本單元創設了摸球游戲的情境。教材對組織這一活動，提出了三條“指導語”，活動之前先“想一想”，摸到的球有幾種可能，摸到什么顏色球的可能性更大；第二步“摸一摸”，在小組內摸球，把每次的結果記錄在表內；第三步“填一填”，根據記錄表，統計摸到什么顏色球的次數多，摸到什么顏色球的次數少。這就是讓學生經歷“猜測—試驗—分析試驗數據”的過程。
小學數學培訓總結11
我參加這次小學數學教師網絡培訓。盡管培訓期間仍有繁重的工作負擔，但聆聽名師講座，觀摩課堂教學實踐，使我受益匪淺。回首培訓歷程的足跡，發現自己有了很大的提升，但還需不斷的努力向上，直到永遠。
一、思想受到洗禮
聽了專家老師的講座之后，我的心情久久不能平靜，同樣是教師，他們卻在這平凡的工作崗位上做出了許多不平凡的業績，成為人們學習的榜樣，尋找到了人生的真正的樂趣。師者為師亦為范，學高為師，德高為范。走上三尺講臺，教書育人；走下三尺講臺，為人師表。教師不僅是社會主義精神文明的建設者和傳播者，更是莘莘學子們的`道德基因的轉接者。因此，師德 ,不是簡單的說教，而是一種精神體現，一種深厚的知識內涵和文化品位的體現！師德需要培養，需要教育，更需要的是：每位教師的自我修養！讓我們以良好的師德，共同撐起教育的藍天！
二、在讀書中反思。
本次培訓學習，讓我充分領略到專家與名師那份獨特的魅力——廣博的知識積累和深厚的文化底蘊。這些專家與名師都有一個共同的嗜好——讀書，他們充滿智慧和靈氣的課堂正是得益于他們讀書。讀書，可以讓自己從不同層面得到豐厚；讀書，可以加深自身文化底蘊，提高自身專業素養。知之而改之，今后我努力的方向就是每天要讀書，只要堅持，哪怕讀一點點都是好的。在讀書的過程中，還必須要學會思考，在思考中進步。
三、在教學中反思。
教師，尤其是一線教師，重要的工作陣地就是課堂。但，教師不能只是課堂技術的機械執行者，而必須是課堂實踐的自覺反思者。那一節如何打造優質課堂教學的講座，向我們介紹了“有效教學的路徑與原則”，結合案例生動的介紹了如何找到核心問題。”課堂觀察和如何評價一堂課”講座，讓我懂得了當老師并不是那么簡單的，一堂課的評價也是多元的。即要評價老師還要評價學生。“教師如何制訂專業發展計劃”講座 使我明白自己要成為一名優秀的老師。 必須制定自身的幾年發展規劃。，而且學會了怎樣制定規劃，并積極通過各種途徑進行理念的學習，給自己充電，以提高自己的理論水平。 積極參與教學改革的各種培訓和活動。促進了自身的專業發展。按規劃發展自己。
總之，在培訓班學習的這段時間里，聆聽了專家、學者的諄諄教誨，觀摩了一線老師的實踐，學員之間的相互交流，展望未來的工作。學習之路，深感將是永無止境而又艱難曲折的，我愿在這快樂而無止境的追求中去實現自己的價值。
小學數學培訓總結12
數”的產生成為人類文明發展的一個重要的標志。人類從識別事物多寡的原始的數覺能力，到抽象的“數”概念的形成，經歷了一個緩慢漸進的過程。
第一次擴充：分數的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數的引進；第四次擴充：無理數的引進；第五次擴充：復數的引進。
從原有數集擴充到新數集所遵循的原則：原數集是擴充后新數集的真子集；原數集定義的元素間的關系和運算在新數集中同樣地被定義；原數集中的元素在新數集中定義的運算結果與在原數集中的運算結果一致，且基本運算律保持；在原數集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數集中能夠施行；新數集是滿足上述四條的數集中的最小數集。擴充方法：一種是把新引進的數加到已建立的數系中而擴充。另一種是從理論上創造一個集合，即通過定義等價類來建立新數系，然后指出新數系的一個部分集合與以前數，一種新的數，也就實現了數系的一次擴張。引入了負數，就實現了這個數系關于加減運算的自封閉。
有理數有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標設為0和1。正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。對于分母q的有理數，就可以用把單位區間q等分的那些分點表示。每一個有理數都可以找到數軸上的一點與之對應。
無理數的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現了數系的又一次擴張，可以滿足數學上開方運算的需要，實現了實數系關于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數都將全部有理數分為兩類，使得第一類中每個數都小于第二類中的任一個數，這個分類的有理數可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數的定義。
所建立的數系是同構的。
自然數的兩大基本理論：基數理論和序數理論
基數理論當我們把所有表示數量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數集”，為了度量“數集”當中表示數量的符號個數，我們首先要定義一個概念就是“基數”。19世紀中葉，數學家康托以集合理論為基礎提出了自然數的基數理論。等價集合的共同特征稱為基數。對于有限集合來說，基數就是元素的個數。自然數就有有限集合A的基數叫做自然數。記作“”。當集合是有限集時，該集合的基數就是自然數。空集的基數就是0。而一切自然數組成的集合，我們稱之為自然數集，記為N。
序數理論皮亞諾1889年建立了自然數的序數理論，進而完全確立了數系的理論。是根據一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數集里的元素按1、2、……這樣一種基本關系而完全確定下來。
定義非空集合N中的元素叫做自然數,如果N的元素之間有一個基本關系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：
（1）0∈N；
（2）0不是N中任何元素的后繼元素；
（3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；
（4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；
（5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構成的系統稱為皮亞諾公理系統，它就是自然數系。
自然數0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數法中的空位，在位置制記數中是不可缺少的。
自然數系所蘊含的思想
對應思想（可數的集合）自然數建立在對應概念之上，而且對應的思想也成為自然數的一個重要性質。一一對應關系是集合論中建立兩個集合“相等”關系的一個重要概念。（導致了俗稱“理發師悖論”的羅素悖論的發現）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，后又經過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統（ZF公理系統）。數位思想
位置制記數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數。用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數之產生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。
負數的數學含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負
數學符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數學符號的意義在于：有了數學符號，才使得抽象的數學概念有了具體的表現形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數學思維能以直觀的、簡約的形式表現出來。
字母代表數代數，原意就是指“文字代表數”的學問。使得許多算術問題可以轉換為代數方程問題求解。根本的內涵是“未知數的符號x可以和數一樣進行四則運算。文字代表數的真正價值在于：字母能夠和數字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數、對數、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。
解析式數字、字母、運算符號按照一定規律有意義地結合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規律和變形規則。解析式可以區分為兩大類：一類是只含有代數運算的解析式叫代數式，沒有開方運算的代數式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數式、對數式、三角函數式、反三角函數式。
解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數式數學的符號語言
代數式是在數系基礎上發展起來的。在初等代數中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數運算2初等超越運算：指數是無理數的乘方、對數、三角、反三角運算。
定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數運算，那么這個解析式就稱為代數式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數為整數的乘方運算的代數式稱為有理式；其余的代數式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。
“數”發展到“式”的意義導致了運算形式化、程序化及規則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數系的擴大化問題。將抽象的符號運算應用到更一般的對象上，開辟了構造數學的新方向，為抽象代數學的發展埋下了伏筆，成為近代數學的顯著特征。
數學符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數學符號不但精確地表示數學抽象，而且是抽象內涵的簡約形象。等式和方程
（一）方程的含義“含有未知數的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習用。不過，這個定義有不足。“方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。”把方程的核心價值提出來了，即為了尋求未知數。
判斷一個代數式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數。方程的概念一般用于兩個領域：“求某個未知數的數”和“曲線與方程”在這兩個領域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數（或解集的大小）與方程的存在域的大小有直接關系。
方程的分類依照方程解的個數分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數解等。方程按照它所含有的未知數的個數來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。
不等式有三個基本性質：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應用在運動變化過程中，如果用函數模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關系，是更普遍存在的狀態。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應用。不等式蘊含的思想
（一）模型思想與相等現象相比，不等現象是現實世界中更為普遍的現象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示數的代數思想，將未知數同已知數一起描述問題的代數表達形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現在：一是模型思想，二是化歸思想。學習方程內容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關于方程建模大自然的許多客觀規律都表現為量與量之間的某種關系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學不能過分地停留在數學層面上必須使學生真正體會到數學與現實生活密不可分的聯系。體會方程是一種用數學符號提煉現實生活中的特定關系的過程。必須學會抽象將關系抽象為數學符號。
方程設計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數學表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。
初中數學方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。
等式與方程的關系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式
學習的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規律。其次，研究不等式可以導致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區域。
不等關系與相等關系既是矛盾獨立的，也是相互統一的。不等關系往往可以等價地轉化為相等關系加以解決。
不等式的含義兩個實數或代數式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內的實數代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數式時，稱為代數不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。
一個不等式的解集表示方法1數軸表示法即在數軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區間表示法即用區間來表示不等式的解
刻畫不等現象的有力模型。通過分析實際問題中的數量關系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現了不等式的模型思想。同時，這種模型經常與函數、方程聯系在一起，三者都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數學模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關系。這是一種辯證關系。恰當地運用這種思想可以輕松地化解相當多的問題。（三）數形結合思想根據題意可列出不等式組，運用數軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數形結合思想。函數
函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型。
1755年，歐拉首次給出了函數變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數。”由此演變為目前的函數的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應，則稱W是Z的函數。”。1939年，布爾巴基學派主借用了笛卡兒積建立關系，進而定義函數：
1）對
中每一個元素
，存在
，使
；
（2）若且，則。函數記作：”分別稱以上函數定義為變量說、對應說和關系說。函數概念的核心思想
數學的核心是研究關系，即數量關系、圖形關系和隨機關系。函數研究的是兩個變量之間的數量關系：一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也發生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號表示函數。函數的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。
解析式是最常用的方法，適用于表示連續函數或者分段函數。解析式有利于研究函數性質，構建數學模型，但對初學者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數的形態，有利于分析函數的性質，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數可因題而議。中學數學研究的函數性質
數學中研究函數主要是研究函數的變化特征。中學階段主要研究函數的周期性，也涉及
奇偶性；在高中階段主要研究函數的單調性、周期性，也討論某些函數的奇偶性。（一）函數的周期性周期性反映了函數變化周而復始的規律。是中學階段學習函數的一個基本的性質。周期函數是刻畫周期變化的基本函數模型，使我們集中研究函數在一個周期里的變化，了解函數在整個定義域內的變化情況。
（二）函數的奇偶性函數的奇偶性也是我們在中學階段學習函數時要研究的函數的性質，但它不是最基本的性質。奇偶性反應了函數圖形的對稱性質，可以幫助我們用對稱思想來研究函數的變化規律。
（三）函數的單調性單調性是討論函數“變化”的一個最基本的性質。從幾何的角度看，就是研究函數圖像走勢的變化規律。函數與其它內容的聯系
（一）函數與方程用函數的觀點看待方程可以把方程的根看成函數與x軸交點的橫坐．解析幾何的產生與發展
笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了。現代幾何的產生與發展
人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數學課程中的幾何學內容
（一）直觀幾何幾何學是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維。“形象思維”也就是強調幾何直觀。
（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標，即零點的橫坐標。方程可看作函數的局部性質，求方程的根就變成了求函數圖形與x軸的交點問題。
（二）函數與數列數列是特殊的函數。它的定義域一般是指非負的正整數集，有時也可以為自然數集，或者自然數集的子集。數列通常稱為離散函數。等差數列是線性函數的離散化，而等比數列是指數函數的離散化。
（三）函數與不等式我們首先確定函數圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據函數的圖像來求解不等式。
（四）函數與線性規劃是最優化問題的一部分，從函數的觀點看，首先，要確定目標函數，用目標函數來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標函數的可行域。最后，討論目標函數在可行域（由約束條件確定的定義域）內的最值問題。
解線性規劃問題，可歸結為以下算法：第一步，確定目標函數；第二步，確定目標函數的可行域；第三步，確定目標函數在可行域內的最值。函數模型
函數是對現實世界數量關系的抽象，是建立思想模型的基礎，具有良好的普適性和代表意義。現實生活中，普遍存在著最優化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數建模的思想進行解決。在運用一次函數知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。
在實際的教學中，除了使學生了解所學習的函數在現實生活中有豐富的“原型”之外，還應通過實例介紹或讓學生通過運算來體驗函數模型的多樣性。
通過實例，讓學生體會、感受數據擬合在預測、規劃等方面的重要作用，使學生們學會用數學的知識、思想方法、數學模型解決實際問題，提高運用數學的能力．要鼓勵學生收集一些社會生活中普遍使用的函數模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。
實驗幾何的形成和發展
人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發展
柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。
以一些原始概念和公理為出發點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質的分析研究，這就是演繹幾何。
（三）度量幾何對一些圖形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當的延伸。（四）變換幾何也叫運動幾何。這個領域主要討論平移、旋轉、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數、幾何關系和函數之間建立了密切的聯系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關系的研究了。
經驗幾何所謂經驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關注學生幾何活動經驗的積累，以及幾何直覺的發展。經驗幾何的作用
幾何學是研究現實世界物體的形狀、大小和位置關系的學科,而后發展成為研究一般空間結構、圖形關系的學科。
（一）經驗幾何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺思維和創造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經驗幾何是學習推理論證幾何的必要前提。
學習的內容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學習，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。
另一方面，我們用來作為推理基礎的幾何性質，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質進行“推論”而導出的結果。
（三）實驗幾何是幾何學習的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學習方法。總之，實驗幾何作為幾何學習的一個階段，在學生幾何學習過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學習的一種有益于發現真理、幾何直觀幾何直觀具有發現功能，同時也是理解數學的有效渠道。數學概念經過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數學對象為基礎進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應用性要求,這要求數學的直觀與形式的統一，才使得數學的完美。
幾何直觀及其作用《數學課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述
和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。
幾何直觀對于學生的數學發展非常重要：
首先，幾何直觀是一種創造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發現過程中起到不可磨滅的作用。對于數學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導，隨著現代科技的發展，幾何直觀在計算機圖形學、圖象處理、圖象控制等領域都有誘人的前景。
其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎,有助于學生對數學的理解。
借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積
物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數”標志它的大小，稱這個數為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規定為1平方米。
于是，對于邊長為整數a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數）。如果矩形的邊長A，B是無理數，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數逼近無理數，an→A,bn→B。依據anbn→AB，以及有理數邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。
這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經驗的策略，創設不同的數學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程；使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數學觀。
最后，幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質和關系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數學創造性工作歷程，能夠開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。
直觀幾何主要包含哪些內容
以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規作圖、視圖和投影等。這些內容構成直觀幾何的重要組成部分。經驗幾何的具體研究內容
初中幾何的主要課程教學目標在于，“積累幾何活動經驗，發展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發展幾何直觀、積累幾何活動經驗、培養空間觀念，則是經驗幾何的核心目標。按照初中階段的經驗幾何認識過程的不同，通常可以將經驗幾何的學習內容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關性質三部分。度量幾何幾何學起源于圖形大小的度量。根據圖形的維數，把度量一維圖形大小的數稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數。線段長度是一切度量的出發點。
長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數。1960年以后，用激光定義“米”。
目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權度大會重新把國際標準制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內在真空中所走的長度，稱為“米”。
如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。
輾轉相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學派，發現正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度。”
比”。
海倫-秦九韶公式
劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數分得愈多，其結果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質或物體所占空間的大小。
（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關公式計算出這個幾何體的體積。“面積公理”與測度公理
既然圖形是一個集合，而相應的圖形的面積是一個數，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數。這個集合函數顯然是非負函數，而且正方形的面積是1。當然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經過移動、旋轉、反射，其面積應該不變。這些性質放在一起，就成為面積公理的內容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節變換幾何
變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念
幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學的研究有重要作用。
變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應的幾何學，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質與不變量，就是相應幾何學的主要內容。
在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。
全等變換
如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應三角形有相反的方向，并且每兩個對應的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有同一的方向,每對對應角有同一方向。反演變換
在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規律看，幾何學習的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。
歐幾里得與演繹幾何
公理化方法淵源于幾何學，而幾何學起源于埃及。
希臘數學家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內容豐富，結構嚴謹，對于幾何學的發展和幾何學的教學都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失
《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應，它使位于圓內的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內的點，反演中心變成平面內的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變。空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉，反射平移、旋轉與反射的初步描述
圖形相似的思想方法體現在圖形相似的概念、性質和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結為如下五個方面：
（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現出化歸思想
（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。
（3）結構相同，即“同構”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。
（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構成元素的認識。
（5）借助必要的工具和手段是學好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關系
（一）平移、旋轉、反射變換是全等變換
（二）平移、旋轉都可以由若干次反射（軸對稱）的復合而得到。
對于平移、旋轉和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發現，其中，軸對稱（變換）更為基本。
（1）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次平移；
（2）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉，可以通過連續的兩次軸對稱來完成。
（3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結構方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們為之而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現代科學產生的一個主要因素。科學絕不僅僅是把經過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已。科學上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經驗同試驗進行結合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理。可以肯定地說，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現在歐洲，而不是東方。或許，使歐洲人易于理解科學的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數學知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。
歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數學原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學家都效仿歐幾里得，說明他們的結論是如何從最初的幾個假設邏輯地推導出來的。許多數學家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀以來，中國在技術方面一直領先于歐洲。但是，從來沒有出現一個可以同歐幾里得對應的中國數學家。其結果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數學理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。
如今，數學家們已經認識到，歐幾里得的幾何學并不是能夠設計出來的惟一的一種內在統一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經創立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數情況下，歐幾里得的幾何學可以給出十分近似于現實世界的結論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學術成就的光芒。也不會因此貶低他在數學發展和建立現代科學必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家。”由此可見，《原本》一書對人類科學思維的影響是何等巨大。
從數學教育的角度看，歐幾里得的邏輯結構是串聯型而不是放射型的，《原本》的每一節都那么重要，一節學不好，繼續前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數學課程教學改革的焦點。《原本》幾乎包括了中小學所學習的平面幾何、立體幾何的全部內容。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學課程改革關注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學數學幾何部分的主要內容。有人稱之為“不倒翁現象”。這是因為，歐氏幾何從數學的視角，提供了現實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們人類的生存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關系。所以，這個模型的基本內容是學生能夠理解和掌握的，而且應用廣泛的基礎知識。它比三種幾何的關系
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。
義務教育階段幾何課程內容的基本定位義務教育階段幾何課程設計的特點簡析義務教育階段幾何課程設計的特點與以往的綜合幾何課程設計風格相比，《數學課程標準》下的幾何已經將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學低年級，同時歐氏幾何的體系和內容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學生學習，也有利于引導中小學生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。
盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學習價值，但在以往的教學中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內容體系比較封閉，脫離實際，教學代價太大等等。①這些問題需要數學課程的設計者與數學教學的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學法方面的改進。首先是內容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續學習發揮基礎作用的內容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現代數學的觀點，高屋建瓴地處理傳統的內容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。
從國際上數學課程改革的歷程來看，第二次世界大戰以后，特別是在上世紀60年代的“新數學”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發現圖形的幾何性質。相關的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應思想的滲透，在某種意義上給傳統算術與代數注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學觀點和更新的研究視野。
對第五公設是否獨立的研究導致了非歐幾何的發現。
非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數學分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何
家羅巴切夫斯基發現非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設與歐氏系統的其余公理是獨立無關的。黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。制，另一方面體現在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續出現。
新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗學習的方法；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。
幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。
推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發，按照規定的法則證明（包括邏輯和運算）結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。
直觀幾何、實驗幾何課程設計特點與綜合幾何的差異
與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現實的意義和課程設計的特色：
1．不同的課程目標和價值取向
從課程設計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發展取向的課程設計模式，而綜合幾何屬于典型的學術主義價值取向的課程設計模式。
2．不同的教育學、心理學基礎和不同的師生關系
以論證為主的綜合幾何課程設計，立足于行為主義心理學，主張師生之間建立“以教為主、以教促學”的師生關系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設計觀認為，有意義的幾何教學應當建立在學生的主觀意愿和知識、經驗基礎之上，依賴學生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學中的角色應該定位在學習的組織者、引導者和合作者、參與者，注意學生在學習中所處的不同文化環境、教室文化、社區文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學生之間應該努力構建一種和諧、互動的新關系。
3．不同的`課程設計風格
在課程論中，課程有學科型課程與經驗型課程之分。除了學科型課程和經驗型課程外，大多數課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學科型課程。當前，我國實行的義務教育課程標準實驗教科書大多介于學科型課程與經驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛”，而有的更靠近前者，“中規中矩”。
4．不同的教學要求
在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學生的直觀感受和幾何活動經驗是學習的基本出發點和必不可少的載體，而且直觀教學變得十分重要。在這種課程設計時，有的是在抽象的學科主線中不斷閃現出內容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學是研究平面圖形的形狀、大小和位置關系的科學，培養和提高學生識圖、作圖能力是學好幾何的必要環節。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設計模式下，采用直觀教學至關重要，可使學生一開始便進入到直觀教學所創設的情盡管全國初中數學課程標準實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發展幾何直觀與推理
能力是普遍趨勢。第三章統計與概率
準確理解數學、概率、統計之間的關系
（一）研究問題的出發點不同數學研究的對象是從現實生活中抽象出來的數和圖形。數學研究問題必須有定義，即數學研究問題的出發點是定義，沒有定義無法進行數學的研究。統計研究所依賴的是模型，構建一些模型的基礎上進行研究。但是，統計與數學有著密切的聯系，我們拿來數學的很多知識、思想方法作為統計分析的工具。
（二）研究問題的立論基礎不同從數量和數量關系這個角度考慮，數學是建立在概念和符號的基礎上的。而統計學是建立在數據和模型的基礎上，雖然概念和符號對于統計學的發展也是重要的，但是統計學在本質上是通過數據和模型進行推斷的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現情景，給學生以鮮明生動的形象，學生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理
新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯系）學習的方法（即“操作”+“推理”）；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。
初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。
在義務教育數學課程標準下，“圖形與幾何”主要內容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質、分類和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。
在“圖形與幾何”的核心課程教學在于：幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。
如何理解初中幾何的核心目標發展幾何直觀與推理能力
在“圖形與幾何”的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實出發，按照規定的法則證明結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。基于此，《數學課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內容。
（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應，數學的推理依賴的是公理和假設，是一個從一般到特殊的方法，而統計學的推斷依賴的是數據和數據產生的背景，強調根據背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。
（四）研究問題的判斷原則不同數學在本質上是確定性的，它對結果的判斷標準是對與錯，從這個意義上說，數學是一門科學，而統計學是通過數據來推斷數據產生的背景，即便是同樣的數據，也允許人們根據自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結果，統計學對結果的判斷標準是好與壞，從這個意義上說，統計學不僅是一門科學，也是一門藝術。
數理統計方法的基本步驟建立數學模型，收集整理數據，進行統計推斷、預測和決策。當然，這些環節不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的。
（1）模型的選擇和建立。模型是指關于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規定一定的類型。建立模型要依據概率的知識、所研究問題的專業知識、以往的經驗以及從總體中抽取的樣本。
（2）數據的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關的指標值。這方面的研究內容構成數理統計的一個分支學科。叫抽樣調查。
（3）安排特定實驗以收集數據，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數據便于進行分析。
（4）數據整理。目的是把包含在數據中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當的圖表，如散點圖，以反映隱含在數據中的粗略的規律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數字特征，以刻畫樣本某些方面的性質，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統計量。
（5）統計推斷。指根據總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關總體分布的某種論斷。數據的收集和整理是進行統計推斷的必要準備，統計推斷是數理統計學的主要任務。
（6）統計預測。統計預測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。
（7）統計決策。依據所做的統計推斷或預測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統計與概率的課程內容主要內容包括：
描述統計的進一步擴展----描述統計的基本目標在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數據。
滲透數理統計思想----數理統計與描述統計的根本區別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數據的一個關鍵問題。學習概率的初步內容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發生的概率；通過實驗，獲得事件發生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。
普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調查：從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間
在一定條件實現后，可能產生也可能不產生的現象，人們稱之為隨機現象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：
信息。眾數只與其在數據中重復的次數有關，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數據信息，而且當各個數據的重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。數據的離散程度
極差是指一組數據中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數據的變化范圍。方差是指一組數據中的平均數與每一個數據之差的平方和的平均數。
樣本數據的方差和標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。加權平均數的概念
加權平均數是不同比重數據的平均數，加權平均數就是把原始數據按照合理的比例來計算，即一組數據的每個數乘以它的權重后所得積的總和。平均數稱之為算術平均數，是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術平均數，
(1)可在相同條件下重復進行；
〔2)每次試驗可出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定；
(3)事先知道試驗可能出現的全部結果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結果稱為一個隨機事件
樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應的一切隨機事件。數據的收集
數據收集方法有兩種：調查和實驗。在現實生活中原來就有的數據，人們通過調查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調查；抽樣調查，即為一特定目的而對部分考察對象作調查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統抽樣法。
數據的隨機性主要有兩層涵義：
一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會是不同的；
另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。數據的整理和分析
數據分析觀念主要體現在三個方面：
第一，了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中是蘊含著信息的；
第二，了解對于同樣的數據可以用多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；
第三，通過數據分析體驗隨機性。
理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）和離散程度（極差、方差、標準差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數和頻率
我們稱每個對象出現的次數為頻數，也稱次數。頻數也稱“次數”，對總數據按某種標準進行分組，統計出各個組內含個體的個數。而頻率則每個小組的頻數與數據總數的比值。數據的集中趨勢在統計學中是指一組數據向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數據中心點的位置所在。反映數據集中趨勢的度量包括平均數、中位數、眾數等。平均數一組數據的平均數就是用這組數據的總和除以這組數據的總個數得到的值。中位數，就是將這組數據從小到達排列后，位于正中間的數（或中間兩個數的平均數）。眾數，是指一組數據的眾數就是這組數據中出現頻數最多的數。平均數、中位數和眾數的聯系與區別
聯系：從不同角度描述了一組數據的集中趨勢。區別：計算平均數時，所有數據都參加運算，它能充分利用數據所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應用最為廣泛。中位數的優點是計算簡單，只與其在數據中的位置有關。但不能充分利用所有的數據當加權平均數中的權相等時，就是算術平均數。
統計表不僅反映某一類事物的具體數據，而且還能說明有關數據之間的關系。統計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數據信息，直觀地反映其規模、水平、構成、相互關系、發展變化趨勢和分布狀況，即是根據統計數據所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數據所隱含信息的統計圖示法分為單式條形圖、復式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。
直方圖有兩種，頻數直方圖和頻率直方圖。頻數直方圖與頻率直方圖既有聯系，又有區別。
扇形圖用圓和扇形分別表示關于總體和各個組成部分數據的統計圖叫做扇形統計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。
扇形統計圖具有四個特點：
一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關系，
二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；
三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，
四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統計圖中，不能簡單地根據百分比的大小來比較部分量的大小。折線統計圖
用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統計圖不但可以表示出數量的多少，還能夠清楚地表示出數量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預測。折線統計圖可分為單式折線圖或復式折線圖。統計是對隨機現象統計規律歸納的研究，而概率是對隨機現象統計規律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關聯的
隨機事件的概率，實質上是指在客觀世界中，這個事件發生可能性大小的一個數量刻畫。
概率的定義
頻率是指事件發生的次數在全部試驗次數中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發生的可能性大小。即一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是趨近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率
（1）隨機性和規律性。
（2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事
情發生的機會
（3）有些概率是無法精確推斷的。
（4）有些概率是可以估計的。隨機結果也具有規律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規律。我們就是要通過觀測數據，在隨機性中尋找用概率和數學模型描述的規律性
小概率原理是統計檢驗（統計中的反證法）的基礎和依據。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發生。《數學課程標準》認為，“統計與概率”應當是初中課程內容的重要組成部分。不僅如此，《數學課程標準》將“統計與概率”內容從第一學段連續編排到初中，并且規定，在初中，學生將從事數據的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學習描述數據的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發生的概率。《大綱》沒有涉及“概率”內容，僅僅在初中階段引入“統計初步”，并且將“統計初步”放入“代數的第（十三）部分”在《大綱》中，“統計初步”的定位是：使學生了解統計的展這一活動，有以下幾個步驟：
第一，學生觀察一件物體或一種現象，或者操作某些學具。
第二，學生在研究所觀察的物體或現象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。
第三，老師按一定的順序給學生們推薦活動，學生可從中作出選擇并實施這些活動，學生在選擇中有較強的自主性。
第四，這一活動可以以課內外相結合的形式進行，學生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應保證這些活動在整個學習進程中的持續性和穩定性。
第五，每個學生都記錄活動過程。通過這一活動，學生逐漸學會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發展解決問題的能力，增進對數學的理解力。如何理解數學研究性學習
思想，掌握一些常用的數據處理方法，能夠用統計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數和加權平均數
所謂加權平均數，是指各個數據的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權重”表示，即加上各個數據在全體數據中占有的比例（頻率）再作和。數學期望的定義事前預期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合
設置“實踐與綜合”領域目的在于體現其橋梁作用（即，數學不同領域之間的橋梁作用以及數學與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數學知識、技能、思想、方法等解決現實問題，幫助學生積累直接的數學活動經驗，發展學生的綜合能力。關于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標
教育價值實踐與綜合領域的存在，溝通了現實世界中的數學與課堂上的數學之間的聯系。另一方面，綜合應用數學解決問題也必將給學生的學習方式帶來改變。使學生發展了意志力、自信心和不斷質疑的態度，發展了運用數學進行思考和交流的能力。
課程目標《全日制義務教育數學課程標準》對這個領域的課程設計提出了的總的要求：幫助學生綜合運用已有的知識和經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題，以發展他們解決問題的能力，加深對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”內容的理解，體會各部分內容之間的聯系。“實踐與綜合”在不同階段不同的呈現形式第一學段以“實踐活動”為主題，第二學段以“綜合應用”為主題，第三學段(即初中階段)以“課題學習”為主題。
在初中數學中，課題學習的主要形式有三種基本方式：
數學小調查。數學小調查是指學生在教師指導下，從學習生活和社會生活中選擇和確定調查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學習活動。數學調查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。
小課題研究。活動基本過程如下：各小組確定活動目標；根據目標確定本組活動內容；在老師指導下實際調查。合作交流。
動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學生以更科學的方法學習知識，尤其強調對學生學習方法、思維方法、學習態度的培養。基本過程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結論表達陳述。具體地說，開
數學研究性學習主要針對我國中學教育中出現的若干弊端，為實施以創新精神和實踐能力為重點的素質教育而提出來的，其根本目的是讓學生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質和能力。因此，研究性學習的重點在“學習”，研究是手段、途徑，而不是目的。數學研究性學習的內涵
以培養學生的數學創新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數學學科內容相關的課題，在教師的指導下，學生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學生不但發展了思維能力，而且逐漸領悟到數學科學研究的基本過程和方法，提高學生的科數學研究性學習的目的
1.讓學生經歷科學研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。
2.了解科學研究的方法，提高發現問題和解決問題的能力。
3.學會與人溝通和合作，學會分享。合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質，而研究性學習提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。
4.增強探究和創新意識，培養科學態度、科學精神和科學道德。在研究性學習的過程中，學生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學生必須學會從實際出發，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結論，并且養成尊重他人的想法和成果的正確態度，同時培養不斷追求的進取精神、嚴謹的科學態度、克服困難的意志品質等。
5.培養學生對社會的責任心和使命感形成積極的人生態度。
6.促進學生學習，掌握和運用一種現代學習方式。
7.激活各科學習中的知識儲備，嘗試相關知識的綜合運用。8.促進教師教學觀念和教學行為的變化，提升教師的綜合素質，培養學生創新精神和實踐能力，推進素質教育的全面實施。
初中數學研究性學習主題分為建模探究型、圖表探究型、調查探究型、開放探究型四種類型。
（1）建模探究型：以學生動手操作、合作探討、設計制作模型為主，教師給予指導、總結、評價。
（2）圖表探究型：以學生觀察、分析數學圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結合相關知識分析、探究、解決問題。例如，數學圖表的制作：“制作人口圖”。
（3）開放探究型：以學生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數學問題：猜想、證明、拓廣。
（4）調查探究型：以學生調查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導、提示、總結。數學研究性學習的特點
1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎教育階段的初中生對外部
世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數學研究性學習正好適應學習者個體發展的需要和認識規律。
2.全員參與性。研究性學習主張全體學生的積極參與，它有別于培養天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學習的組織形式是獨立學習與合作學習的結合，其中合作學習占有重要的地位。
3.開放性。數學研究性學習是一種開放性、參與性的教學形式，為了研究有關生活中的數學問題或從數學角度對其它學科中出現的問題進行研究。
4.過程性。要求學生把自己所得出的結論運用到現實生活中去，解決現實生活中涉及到的數學問題，強調學生參與的過程。
5.應用性。學以致用是研究性學習的又一基本特征。研究性學習重在知識技能的應用，而不在于掌握知識的量。
6.體驗性。研究性學習不僅重視學習過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學習的體驗。數學研究性學習的實施保持和進一步提高學習數學的積極性。
（3）在實施過程中，要采取有效的手段對學習活動進行監控；指導學生寫好研究數學日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據。
（4）要爭取家長和社會有關方面的關心、理解和參與，與學生一起開發對實施研究性學習有價值的校內外教育資源，為學生開展研究性學習提供良好條件。
（5）能夠根據學校與班級實施研究性學習的不同目標定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。
數學模型一般是指由數字、字母或其它數學符號組成的，描述現實對象(原型)數量規律和空間特征的數學結構。數學模型可以敘述為：對于現實世界的一個特定對象，為了實施要求：
①全員參與，而非只關注少數數學尖子學生競爭，給每個學生有鍛煉與參與的機會；
②任務驅動。要向學生提出有明確具體要求的任務，發揮它對學生學習過程的引導作用；
③重在學習過程而非研究的結果；
④重在知識技能的應用而非掌握知識的數量；
⑤重在親身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經驗；
⑥形式上靈活多樣，強調課內外結合。數學研究性學習模式有三種：
（1）理論實踐模式。是指師生在共同學習研究性學習理論的基礎上，學生運用數學理論來研究、解決數學問題，體驗研究性學習課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學模式。
（2）數學問題探討模式。師生圍繞數學問題的分析與探討展開的教學活動，構成了問題探討教學模式。其基本理念在于：以激勵、強化學生在教學過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學生學會學習，學會發現和分析問題，培養學生創造性解決問題的能力為宗旨，創設一種開放而又活潑的學習氛圍。其教學策略是：將問題或案例呈現給學生，引導學生共同探討，構建師生平等、互動的學習環境。
一般來說，教師要選擇典型的數學問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學生，而要創造性地加以取舍，主動設疑，引導學生學會思考，提高學生的學習數學能力。
（3）數學課題研究模式。數學課題研究模式是指教師提供課題或由學生根據興趣設計研究課題，并在教師的指導下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標、提高社會實踐能力的一種教學模式。
組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經常被采用的一種組織形式。數學研究性學習實施的一般程序
一般可以分為三個階段：
（1）進入問題情境階段（準備階段）。主要任務是背景知識的準備；指導學生確定數學研究課題；組織課程小組、制定研究方案。
（2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學生要進入具體的解決問題過程。
（3）表達交流階段（結題階段）。學生將自己或小組經過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結論，并進行成果交流和總結反思。數學研究性學習實施中的教師指導
（1）在初中不同的學段和年級，教師的指導工作內容和方法應該有所不同。
（2）在數學研究性學習實施過程中，教師要及時了解學生開展活動的情況，有針對性地進行指導、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學生自我教育，幫助他們
一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設后，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模教學的目
使學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，體會數學的應用價值，培養數學的應用意識，增進對數學的理解和應用數學的信心；使學生學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創新的科學精神；使學生學會以數學建模為手段，激發學習數學的積極性，團結合作，建立良好的人際關系、相互合作的工作能力；以數學建模方法為載體，使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學事實以及基本的思想方法和必要的應用技能。數學建模的教學意義
1.培養學生合作學習的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質。
2.培養學生處理信息的能力數學建模活動則為學生學習如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。
3.有利于學生形成正確的數學觀數學建模活動的開展使學生形成正確的數學觀成為可能。
4.有利于學生體驗數學與生活、數學與其它學科的聯系
5.激發學生的數學學習興趣
6.發展學生的創新意識數學建模的具體實施1.選題
鼓勵學生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：
①讓學生了解選題的重要性和基本要求，
②指導學生結合自己的生活經驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學生的選題并加以點評，或者請本班同學介紹自己的選題計劃，教師和學生一起分析其可行性，
③教師創設一個問題環境，引導學生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導應該是有啟發性的，不要代替學生確定課題，而是啟發學生自己去延展、開拓問題鏈，讓學生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。
2.實施
在課題學習的實施中，我們強調開放學生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。
3.指導
在課題學習中，教師如何指導學生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學習過程中，問題形式與內容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結果呈現層次的豐富性，無疑是對參與者創造力的一種激發、挑戰和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學生的優勢是自然的、常常出現的。
4.評價
評價過程具體涉及以下幾個方面：
①調查、求解的過程和結果要合理、清楚、簡捷；
②要有自己獨到的思考和發現；
③能夠恰當地使用工具(如網絡和計算工具)；
④采用合理、簡捷的算法；
⑤提出有價值的求解設計和有見地的新問題；
⑥發揮每個組員的特長，合作學習得有效果。5.建立和擴張資源
對教育資源的認識應該走出靜態的誤區，要看到身邊許多動態的教育教學資源。此外，通過查找相關的刊物和網站也可以發現大批的可用資源。我們還應有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學校學生的優秀成果等。生和發展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數學符號來表示數學概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數學體系中，孤立的數學概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關系；這些關系稱之為數學概念的邏輯關系。這種邏輯關系使得數學概念系統化、公理化。簡明化數學概念具有高度的抽象性，借助數學符號語言，使得一定事物的本質簡明的形式表現出來，這種簡明化使人們在較短時間內領會。概念的外延與內涵
概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。
一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。概念的內涵是說一個概念所反映的事物培養學生的數學應用意識、數學應用能力
實際教學中要強調學生的自主探索、合作交流和操作實踐等學習方式。
（1）充分發揮學生的主體性。在學習過程中，教師可以向學生推薦活動，讓學生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學生獨立思考和合作交流，在此基礎上教師進行有針對性的指導。
（2）強凋學生學習方法、思維方法、學習態度的養成，關注學生的學習過程。課題學習活動強調學生主動學習，不宜強調對知識的學習，而且更重要的是強調學生對學習方法、思維方法、學習態度的養成。
（3）創設恰當的問題情景，鼓勵學生思考方法的多樣化。在課題學習活動過程中，教師應當鼓勵與尊重學生的獨立思考，引導學生進行討論與交流，培養學生良好的思考習慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養學生的創新意識與創新思維是十分必要的。
（4）對課題學習的評價應該以質的評價為主。一般說來，對學生實踐與綜合應用活動的評價要強調過程性評價。重點在于促進學生創新精神的培養和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學生貼上優秀、良好、不及格的標簽。數學研究性學習的評價對建立學生發展性評價有哪些有益的啟示
（1）研究性學習評價更重視過程。研究性學習評價學生研究成果的價值取向重點是學生的參與研究過程。
（2）研究性學習評價更重視理解中的應用。強調的是學生把學到的基礎知識、掌握的基本技能，應用到實際問題的提出和解決中去既促進學生對知識價值的反思，又加深對知識內涵理解和掌握，形成知識的網絡和結構。3）研究性學習評價強調學生在探究過程中的體驗。
（4）研究性學習評價更重視全員參與。研究性學習的價值取向強調每個學生都有充分學習的潛能，為他們進行不同層次的研究性學習提供了可能性，也為個別化的評價方式創造了條件。第五章初中數學的邏輯基礎
客觀事物都有各自的許多性質，或者稱為屬性。經過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質屬性。反映事物本質屬性的思維形式叫做概念。數學研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系。反映數學對象的本質屬性的思維形式叫做數學概念。數學概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。
抽象化數學概念反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數量關系反映得來，而大多數概念排除對象具體的物質內容，抽象出內在的、本質的屬性，甚至在已有數學概念的基礎上，經過多級的抽象過程才產的本質屬性。
概念的內涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關系。概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。一個概念的內涵和外延分別從質和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內涵與外延的統一體．概念的內涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內涵。概念的外延和內涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發展變化的，概念的外延和內涵必然相應地發生變化，但是在發展變化的過程中有其相對的穩定性．在數學科學體系的確定的階段，每一個數學概念的外延和內涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數學概念的特點
1、初中數學概念并非都是通過定義給出的
2.初中數學概念的層次性數學概念本身具有層次性。
3.數學概念是理想概念
4.數學概念是“過程”與“對象”的統一體數學概念之間的關系
1.同一關系兩個外延完全相同的概念之間的關系，叫做同一關系。同一關系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關系的兩個概念可以互相代替。
2.交叉關系兩個外延部分相同的概念之間的關系，叫做交叉關系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。
3.從屬關系兩個外延具有包含關系的概念之間的關系，叫做從屬關系。其中外延范圍大的概念A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做矛盾關系。
5.對立關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做對立關系。
把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數學中常用劃分把概念系統化。正確的劃分應符合下列條件：
第一，所分成的種概念之間應是全異關系，即任兩個種概念的外延的交集應是空集；第二，劃分應是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應按照同一個標準進行。在一次劃分中用不同的根據就造成了混亂；第四，劃分不應越級。應把屬概念分為最鄰近的種概念
數學概念的定義與要求
定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質屬性。常用的定義方法:
1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發生式定義法不直接揭示概念的基本內涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發生式定義法。
3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當P假時，P真。
2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。
3.聯言判斷。聯言判斷是用連接詞“且”構成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設和題斷，條件和結論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義
關于數學對象及其屬性的判斷叫做數學判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。
4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。
5．關系定義法這是以事物間的關系作為種差的定義，它指出這種關系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。
此外，中學數學中還有描述性定義法(如現行中學數學中關于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導數、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數概念定義對數概念)等等。定義數學概念的基本要求
1.定義應當相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環。即在同一個科學系統中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。
3.定義應清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質屬性來說應是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。
定義要揭示概念所反映對象的本質屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數學概念的形成
數學概念形成是從大量的實際例子出發，經過比較、分類，從中找出一類事物的本質屬性，然后通過具體的例子對所發現的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。
數學概念形成的過程有以下幾個階段：
1.觀察實例。
2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。
3.抽象本質屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質屬性的假設。
4.確認本質屬性。通過比較正例和反例檢驗假設。確認本質屬性。
5.概括定義。在驗證假設的基礎上，從具體實例中抽象出本質屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。
6.符號表示。
7.具體運用。使新概念與已有認知結構中的相關概念建立起牢固的實質性聯系。把所學的概念納入到相應的概念體系中。
判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數學中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質判斷和關系判斷。復合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構成的判斷。
1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類
所謂性質命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質的命題。性質命題由主項、謂項、量項和聯項四部分組成。關系命題關系命題是斷定事物與事物之間關系的命題，關系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復合命題命題真值的概念。
對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。
復合命題的分類
復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。
否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復合命題“非A”，
析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復合命題“若A則B”，記作AB
等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理
不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數學理論的主要基礎。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現象中抽象出來的，符合客觀規律。
任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。
經過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質的區別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規律
1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確
定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應保持同一。二是表示同一事物的概念應保持同一。
2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。
3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。
排中律和矛盾律既有聯系，又有區別。其聯系在于：它們都是關于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由
小學數學培訓總結13
20xx年7月，我參加了寒亭區小學數學培訓班。質疑自己作為教師有何感想：我希望自己是個有長進的老師。短短的1天時間，我感悟到自己的點滴進步。這次的培訓，內容豐富、形式多樣。有專家的精彩講座，有名師的課堂展示，有導師的精心指導，有學員的教學展示和學員間的互動交流，有聯系教材的說課、上課活動……。回首這1天的培訓，既有理論上的提高，又有知識上的積淀，更有教學技藝的增長。這是收獲豐厚的1天，也是促進自身教學不斷成長的.1天。
一、專家講座，引領教學實踐。
培訓期間，我們聆聽了棗莊市教研室老師的講座，使我深深反思自己的教學。這些理念不僅讓我了解到了前沿的教育教學改革動態，而且還學到了先進的教學理念。在專家講授的一些教育教學實例中產生了共鳴，從而讓我能從理論的層次來解釋自己在教育教學中碰到的一些現象。
二、名師示范，指導教學行為。
培訓中，我們聽了很多名師和優秀教師的好課。幾位老師展示了他們獨具特色的教學風格，教學中體現了新課程的教學理念，細節處體現課堂的精彩。這些課無一例外地體現著新課改的要求、趨勢；課堂生動，預設生成與動態生成相結合；目標達成度高，無不滲透著數學思想和數學方法。回味自己過去的教學，真的問題不小。理論運用于課堂教學，課堂教學體現理論的運用，將是我提高課堂質量的動力，提升教學能力的途徑。
三、同伴交流，在互助中收獲。
在培訓中，我結識了許多新朋友，其中有許多老師在教學中已積累了豐富的經驗，形成了自己的教學特色。這一次活動，我在他們身上感受到一種精神，催人奮進的精神！一種靈感，思想的靈感！一種沖動，投身教改的沖動。
培訓期間，我們還進行了知識樹說課，并進行互動交流。讓我懂得了知識樹的外延和內涵，并知道了如何應用知識樹。四、消化培訓，激勵自身成長。
培訓是短暫的，但收獲是充實的。培訓中，我們聽了很多的好課。我用心品味，反照自己的課堂教學，尋找差距與問題，并將學習到的理論運用于課堂教學。只有遵循理論實踐反思認識再理論再實踐再反思再認識，不斷循環的過程中，才能獲取進步。
小學數學培訓總結14
“學高為師，身正為范”這句名言從我步入蚌埠師范那天起就深深地印在了我的心里。作為一名人民教師，教室就是揮灑人生的天地，沒有華麗的舞臺，沒有簇擁的鮮花。我們不像詩人那樣能寫出漂亮的詩歌；不像學者那樣有深邃的思想；更沒有歌手那動聽的歌喉。但我們有的是青春和熱血，有的是不計回報的奉獻。就像一首詩寫的那樣：“春蠶到死絲方盡，蠟炬成灰淚始干”，這不正是對教師最好的人生寫照嗎？
早在我讀初中時，老師就教我讀懂了教師的“奉獻”。我畢業于一所再普通不過的中學。但在我心中，那是一所美麗的學校。朱老師
是這所學校里德高望重的老師。教我時他已頭發花白，滿臉皺紋了。他當時是我初三班的班主任兼語文老師。他對學生的愛不局限于個別對象，而是面向全體，不管是優等生，還是差等生，他都一視同仁。
當時學校要求畢業班住校上晚自習。由于學校宿舍緊張，朱老師就主動把自己的.辦公室讓出來，給本班的幾個路遠的學生，還從家里弄來爐子給他們燒飯，自己卻把辦公室搬到班級的一角。每天上完晚自習還要跑上五六里路回家。有一次，因天黑路滑，還摔斷了手臂。
教師對學生的愛肩負著對一代人的教育使命。這種責任和愛能超越一切，匯聚成一股不可阻擋的力量。當然，教師對學生的愛不能沒有原則，而是在愛中滲透對學生的嚴格要求。
朱老師就是這樣，愛中有嚴，嚴中有愛，愛而不寵，嚴而有格，嚴慈相濟。作為一名男教師，他平時對待學生就像母親一樣；但他嚴厲起來，每一個學生都從心里敬畏。
記得班上有一名男同學非常聰明，但性格古怪，非常驕傲，成績一般。一次，他的數學作業由于馬虎做錯了。數學老師說了他幾句，他心里不服氣，還和數學老師吵了起來。因此，他放棄了學習，成績一落千丈。朱老師知道后，先是嚴厲地批評了他的錯誤做法，后來又幾次找他談心，使他從心里認識到自己的錯誤。在朱老師的傾心引導下，他逐漸地改變了自己的傲慢，腳踏實地地對待學習，學習成績直線上升，后來還考上了一所不錯的大學。我相信在他今后的人生旅途中，他一定會永遠記住朱老師，記住這個改變他一生的人。
還記得當時，我每次遇到難題或不開心的事，我都會去找朱老師，每次朱老師都能給我滿意的答案。現在，我也成為一名人民教師了，當我遇到困惑時，第一時間就會想起朱老師，想起他對我的真摯的教誨，身上就會有巨大的力量，給我充足的信心。現在朱老師雖然已經退休了，但師愛無疆，現在依然關心著我的成長。每次給他寫信，年已花甲的朱老師，都會很認真很仔細地給我回信。在信中，諄諄教導我，要我愛生如子，要我愛校如家。在朱老師的熏陶下，我也一定會像他一樣，愛我的學生，愛我的崗位。
朱老師所作的每一件事都是那么平平常常，但在我的心里，比詩人的詩句更優美;比學者的思想更深邃；比歌手的歌喉更動聽。作為一名人民教師，我們是平凡的，但我們擁有執著于教育事業的赤誠之心。
親愛的同行們，讓我們在這普通的崗位上，在這平淡的工作中，像我的老師一樣，燃燒青春，奉獻自己，為教育事業爭光添彩。讓我
們攜起手來，共創輝煌的明天！國培隨想
古藺鎮玉田小學：羅政容
懷著崇敬的心情，仔細聆聽了專家生動而富有活力的講座，真是受益匪淺。
這次國培以特殊的方式給我們提供了學習的平臺，給我們提供了教學交流互動的窗口，讓我們更進一步認識了培訓的深刻含義，同時，
在新的形勢下，也給我們帶來了前所未有的緊迫感，責任感，時代感。當老師，當一位好老師，真的應該“活到老，學到老”。
通過這段時間的學習，讓我深刻明白了：
1、靜下心來，潛心學習專業知識，不斷提高自身的素質，非常有必要。
2、學習中結合實際不斷反思，在反思中不斷探索。
3、理論與實踐相結合，利教利學。
國培助我成長
古藺鎮玉田小學：羅政容
從事教學工作多年，教學熱情一年不如一年，一接到參訓“國培”的通知，一片茫然。以前聽說過國培，但沒能親身體驗，對學習的內容和要求都不了解，當我順利的完成了注冊、登錄、選課、學習等一系列任務，感覺自己像打了勝仗一樣。聽著專家的精彩講解，我的心里美美的，初學國培，真好！
一舉多得
國培為我們一線教師提供了一個全新的學習平臺，大家在這樣一個全新的學習平臺上不僅加強了理論素養的學習，更提供了一個相互學習、相互交流的平臺，結交了一批志同道合的教師，在學習中收獲了知識，提高了能力，結識了朋友。國培不再是一個被動的“應試”的學習，變成了大家主動學習、提高的過程。
學以致用
在學習中，我將所學運用到自己的教學中來，解決了自己教學中的實際問題。
以前在識字教學中，總是采用老一套的“經驗”，學生學得吃力，我也教的費力，效果卻不盡人意，通過國培學習，認識到每種識字方法都有其長處和短處，要選擇科學的識字方法，在各種方法中不斷優化，選擇適合自己和學生的識字方法。通過改進自己的教學方法，現在學生識字熱情得到激發，效果也不錯。體會到國培給我帶來的好處，我再次認真的開始國培的學習。踏上新的征程！
小學數學培訓總結15
在開學之前，我參加學校組織的教師培訓大會。雖然很累,但是我仍然聽的很認真。從中學到了不少。在新課程下,新的教學研修成果,新的教學方法,新的教學管理方法以及如何解決教學管理中存在的問題，以及觀摩課上展示的一些優良的教學經驗，都是值得我學習,值得我深思的。使我體會至深。通過培訓大會，我發現了教育教學過程中的一些不足，也找到了許多解決問題的辦法。
一、數學理念的提升
雖然從事教育工作8年之久，但面對當今的形式，時代要求我們不斷進步，吸取營養，為祖國的教育事業能夠有突飛猛進的發展貢獻我們的力量。在這次培訓中老師為我們總結了數學的思想方法和活動經驗，這讓我在數學理念上有了更深刻的認識。集合思想、對應思想、符號化思想、化歸思想、類比思想、分類思想、統計思想、極限思想和模型化思想這么多數學教學思想方法在數學教學中的應用是復雜和實效的。我正是缺少了這樣的一些理論基礎，使得在實際教學中缺乏高度和深度。老師關于課堂教學預設與生成的關系論述非常貼近我們的實際教學，這也是我們在日常教學中，尤其是公開教學中面臨的最為頭疼的環節。除了教師自身要具備較高的隨機應變的能力外，更要汲取豐富理念，這樣才能真正具備駕馭課堂的能力。
二、教學行為的轉變
對于每位教師都要面臨的備課和上課任務，在這次培訓中我也有了進一步的`認識。在日常工作中面對龐大的班級學生數，面對堆積如山的要批改的作業，再加上那么些個后進生，教師已經忙得不可開交，談何每天細心備課，認真鉆研教材，尤其是像我這樣缺乏經驗的年輕教師，日常課堂教學的有效性內心來說實在讓人堪憂。老師的講解為我們在這些方面的思考提供了一些可借鑒的方法。空談理論不切實際，屏棄理論也不合邏輯。我們應理論結合實際，在日常工作中根據自身工作量在學期初為自己制定好工作目標，如細致備多少節課，進行多少節課堂教學研究等。簡而言之，就是有選擇性地進行教學研究，保證在有限的教學時間中做到充分利用。可謂：量不在多，貴在精。我想這樣一種教學行為的轉變，才能真正意義上運用到我們的實際工作中，才能讓學生獲得更為有效的教學。
三、教研方法的更新
一直以來，校公開課的開展一直是我們進行教學教研的重要方法。通過汪主任的一席話和幾位老師的說課演示，不僅讓我對如何說課有了更為深刻的理解，也讓我認識到在日常教學教研中思想和方法的轉變需求。我們應與時俱進，在開展學校公開教學評比的基礎上結合實際有選擇性地加強課后說課及互相評課的實踐練習，更為深入地做好教研方法的更新，也為我們展開更有效的教學打好基礎。
經過這次我認識到每一位教師都應積極參與到課程改革中去，不做旁觀者，做一個課改的積極實施者。經過學習，也讓我更加深刻地體會到學習的重要性，只有不斷的學習，才能有不斷的提升。我想只有經過全體老師的共同努力，新課程改革之花才會開得更加燦爛，我愿在這快樂而無止境的探索中去實現自己的夢想。
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